【平面几何】凸四边形内部的一个作图问题
编辑：Simone
2024-12-05 14:47:55
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给定凸四边形ABCD，要求在其内部找一点O，使得S(OAB)=S(OCD)，S(OBC)=S(OAD)。
S(OAB)表示△OAB的面积。
这个问题可以尺规作图，我们一步一步来作图。
首先约定，AB和CD不平行，AD和BC不平行。
否则需要另寻它法。
设AB和CD交于E，那么S(EAB)=S(ECD)=0。
这是显然的。
点E沿着向量AB平移，得到点U；
点E沿着向量DC平移，得到点V；
构造平行四边形EUFV。
容易证明，对于直线EF上任意点X，都有如下结论：
S(XEU)=S(XEV)=S(XAB)=S(XCD)
AD与BC交于点G，
点G沿着向量DA平移至M，
点G沿着向量CB平移至N，
构造平行四边形GMHN，
作直线GH。
直线EF和GH的交点，就是点O。这是唯一满足要求的点。
当AB与CD平行，AB和CD无法作出交点。这也是第一步的约定的根源。
本文的方法，不是一个统一的方法，需要分类处理。
那么，是否存在一个统一的方法，兼容平行与不平行的所有情形？
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