MATLAB数据插值：一维二维插值和拉格朗日插值

MATLAB教学视频：详解数据插值的MATLAB实现，视频时长约120分钟，通过三个具体的数学建模案例，详细地讲解了MATLAB中一维插值和二维插值的应用和实现方法。另外，还通过自编程的方式，实现拉格朗日插值方法。视频的最后，还对多维插值做了基本的介绍。

教学内容

1. 问题的描述：函数的逼近

2. 拟合与插值

3. 一维插值：曲线插值

4. 一维插值扩展：拉格朗日插值方法

5. 二维插值（曲面插值） 的两类问题描述

6. 二维插值（曲面插值）：案例一

7. 二维插值（曲面插值）：案例二

8. 多维插值概述

问题的描述：函数的逼近

构造出一个函数 y = P(x) 来逼近（近似替代） 已知的离散数据点 (x, y)

1. 数据拟合：近似函数不一定经过所有的已知离散数据点；通过拟合的方法（最小二乘法），求解出 P(x) 中的待定参数 a, b

2. 数据插值：近似函数一定要经过所有的已知离散数据点；选定特定形式的函数 y = P(x)，求得插值函数

一维插值：曲线插值

已知一系列的离散数据点[x, y]，求解插值点xq处的值yq

MATLAB自带的interp1函数，调用格式

yq = interp1(x, y, xq, method)

1. method为可选用的插值方法

2. linear 线性插值，默认的插值方法

3. nearest 最邻近插值

4. spline 三次样条插值

5. pchip 三次Hermite插值

6. cubic 同pchip

7. v5cubic 离散数据点必须是等间隔的

一维插值扩展：拉格朗日插值方法

拉格朗日插值是一种经典的多项式插值方法，可惜的是，MATLAB中并没有现成的内置函数，可以实现拉格朗日插值。这里直接给出拉格朗日插值多项式，具体的推导过程，可参照数值计算的教科书。

自定义一个拉格朗日插值函数yq=Lagr(x,y,xq)，估计海洋在深度[400:20:1700]上的海水温度值。说明：为了简化插值函数的编写，设xq为单个待插值点的横坐标。

二维插值（曲面插值）的两类问题描述

1. 有规律分布的二维插值问题：已知数据为网格化的数据

1.1 MATLAB自带的interp2函数

1.2 zq= interp2(x, y, z, xq, yq, method)

2. 数据散乱或随机分布的二维插值问题：已知数据为散点的数据

2.1 MATLAB自带的griddata函数

2.2 zq= griddata(x, y, z, xq, yq, method)

二维插值（曲面插值）：案例一

测得平板表面 3×5 网格点处的温度如下表所示，试作出平板表面的温度分布曲面 (x 方向和 y 方向的网格间隔，分别为 0.1 和 0.03)

二维插值（曲面插值）：案例二

在中国南海的某海域，测得一些坐标点 [x, y] 处的水深如下表，已知船的吃水深度为 5m，求在矩形区域 [75, 200] x [-50, 150] 的哪些地方，船要避免进入？

多维插值概述

1. 已知数据为网格化的数据：MATLAB 自带的 interpn 函数

Vq = interpn(X1, X2, ... , Xn, V, Xq1, Xq2, ... , Xqn, method)

2. 已知数据为散点的数据：MATLAB 自带的 griddatan 函数

yi= griddatan(x, y, xi, method)

x dimension: m-by-n (插值的维数)

y dimension: m-by-1

xi dimension: p-by-n

yidimension: p-by-1