二次函数知识点汇总及详细剖析

　　函数中，有一种多项式函数形如y=ax^2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），最高次数是2，这种函数，我们称之为二次函数。二次函数知识点颇多，初高中都会出现，在初中，刚刚出现在一次函数数形结合学习之后，因此，二次函知识点离不开数形结合思想。　　二次函数主要有哪些知识点？

定义与定义表达式　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：　　y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）　　则称y为x的二次函数。　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二次函数的三种表达式　　一般式：y=ax^2；+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）　　顶点式：y=a(x-h)^2；+k[抛物线的顶点P（h，k）]　　交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：　　h=-b/2ak=(4ac-b^2；)/4ax1，x2=(-b±√b^2；-4ac)/2a

二次函数的图像　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，　　可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

抛物线的性质　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线　　x=-b/2a。　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为　　P[-b/2a，(4ac-b^2；)/4a]。　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。　　|a|越大，则抛物线的开口越小。　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。　　抛物线与y轴交于（0，c）　　6.抛物线与x轴交点个数　　Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。　　Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

二次函数与一元二次方程　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2；+bx+c，　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），　　即ax^2；+bx+c=0　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。　　画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。

二次函数解析式的几种形式　　(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0).　　(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0).　　(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.　　说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点　　如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k

定义与定义表达式　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：　　y=ax^2+bx+c　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）　　则称y为x的二次函数。　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。　　x是自变量，y是x的函数　　二次函数的三种表达式　　①一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)　　②顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k　　③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)　　以上3种形式可进行如下转化：　　①一般式和顶点式的关系　　对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即　　h=-b/2a=(x1+x2)/2　　k=(4ac-b^2)/4a　　②一般式和交点式的关系　　x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

　　二次函数知识点总是与图形相对应，这也是函数的特点之一，我们在学习二次函数的时候，一定要注重代数与几何的双重锤炼，做到真正的数形结合，同时，也能够让自己对二次函数知识点理解更深刻。